1數(shù)學(xué)探究實驗室建設(shè)的政策背景
根據(jù)頒布的《中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要》指出:“信息技術(shù)對教育發(fā)展具有革命性影響，必須予以高度重視。”強(qiáng)調(diào)“強(qiáng)化信息技術(shù)應(yīng)用，提高教師應(yīng)用信息技術(shù)水平，更新教學(xué)觀念，改進(jìn)教學(xué)方法，提高教學(xué)效果。鼓勵學(xué)生利用信息手段主動學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)，增強(qiáng)運(yùn)用信息技術(shù)分析解決問題能力?！苯逃款C布的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:現(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等產(chǎn)生深刻的影響.提倡利用信息技術(shù)來呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，盡可能使用科學(xué)型計算器、各種數(shù)學(xué)教育技術(shù)平臺，加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的結(jié)合.鼓勵學(xué)生運(yùn)用計算機(jī)、計算器等進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn).
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》還指出:“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的，有意義的，富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動地進(jìn)行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動”。再從《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》內(nèi)容來看，新增加了數(shù)學(xué)實習(xí)作業(yè)、“實踐與綜合應(yīng)用”、直觀幾何、幾何變換、概率統(tǒng)計等內(nèi)容。而這些內(nèi)容實踐性與操作性都很強(qiáng)。數(shù)學(xué)實驗室的設(shè)立,可以有效的落實這些新增內(nèi)容,為教學(xué)提供很好的學(xué)習(xí)研究環(huán)境。同時新教材對數(shù)學(xué)實驗也提出了新的要求。例如人教版新教材安排有“閱讀與思考”、“探索與發(fā)現(xiàn)”、“實習(xí)作業(yè)”等內(nèi)容。這些內(nèi)容的完成同樣離不開實驗，要實驗就必須建立自己的實驗室。
數(shù)學(xué)教育面臨著前所未有的挑戰(zhàn) ：今日之社會對數(shù)學(xué)教育無疑提出了比以往任何時代都更高的要求,數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域極大地拓寬了，應(yīng)用數(shù)學(xué)的人群也限于從事理工科工作的人員,更多的人在自己的工作中需要用到數(shù)學(xué)。然而,由于數(shù)學(xué)自身的高度抽象性,使得大多數(shù)學(xué)生無法真正理解數(shù)學(xué)的本質(zhì),只能疲憊于記憶數(shù)學(xué)的概念、定理和公式,以便應(yīng)付無法逃避的考試。因此,數(shù)學(xué)枯燥、數(shù)學(xué)難學(xué),成為越來越多的青少年對數(shù)學(xué)直接的感受。因此,數(shù)學(xué)教育以及數(shù)學(xué)教育的改革成為當(dāng)今世界各國關(guān)注的課題。
技術(shù)為數(shù)學(xué)教育的發(fā)展帶來了機(jī)遇 ：技術(shù)能否使抽象的數(shù)學(xué)變得更直觀、更容易理解?技術(shù)能否讓數(shù)學(xué)變得更有趣、更有引力?技術(shù)能否提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性?技術(shù)能否讓更多的青少年提高數(shù)學(xué)成績?三維立體幾何模型演示教學(xué)系統(tǒng)和圖形計算器的出現(xiàn),讓這種愿望變成了現(xiàn)實。 過去的十多年間,三維立體幾何模型演示教學(xué)系統(tǒng)和圖形計算器在數(shù)學(xué)教育中的作用和價值在全世界范圍內(nèi)得到了充分的肯定與廣泛的認(rèn)可。大量案例和實驗數(shù)據(jù)顯示,三維立體幾何模型演示教學(xué)系統(tǒng)和圖形計算器在實施數(shù)學(xué)新課程的理念、幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、改善學(xué)習(xí)方式、提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、提高數(shù)學(xué)成績,尤其是提高數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生的成績等方面發(fā)揮了積極、顯著的作用。
2數(shù)學(xué)探究實驗室建設(shè)的可行性方案
2.1數(shù)學(xué)實驗
談到實驗，人們比較熟悉的是物理實驗、化學(xué)實驗、生物實驗，醫(yī)學(xué)實驗、核實驗等。
而無論在自然科學(xué)的研究還是教學(xué)活動中，實驗都起著重要的作用。
事實上，數(shù)學(xué)實驗對我們來說并不陌生，它也是我們以往學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的常見手段。例如，當(dāng)研究兩個三角板是否全等時，我們需要拼組的方式觀察它們是否能夠重合；當(dāng)判斷7x7，67x67，667x667、6667X6667的結(jié)果有什么規(guī)律時，我們需要首先進(jìn)行計算。類似這種拼組、計算的操作過程都屬于數(shù)學(xué)實驗。
2.2技術(shù)的發(fā)展讓數(shù)學(xué)實驗的日?；靡詫崿F(xiàn)
對于-般人來說，利用筆、紙、直尺和圓規(guī)等工具,也可以開展數(shù)學(xué)實驗。但由于中學(xué)階段教學(xué)任務(wù)繁重，時間有限，不能對所有數(shù)學(xué)知識重新進(jìn)行一一探索、研究和發(fā)現(xiàn),而是讓學(xué)生直接接受前人傳承下來的知識。毋庸置疑的是，如果學(xué)生有機(jī)會自己動手、操作、觀察、發(fā)現(xiàn)、探索與驗證，那么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中就會變得更加有趣、更有吸引力，就會加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，就會提高學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，就會幫助學(xué)生更加熟練地掌握的數(shù)學(xué)思想方法。
隨著以計算機(jī)和計算器為代表的現(xiàn)代教育技術(shù)的迅速發(fā)展，在日常教學(xué)活動中開展數(shù)學(xué)探究實驗得以實現(xiàn)。計算機(jī)和計算器的特點是工作效率高、運(yùn)行速度快，能夠大大節(jié)約數(shù)學(xué)實驗的時間，減少重復(fù)機(jī)械性的勞動，提高數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。
2.3數(shù)學(xué)實驗室需為數(shù)學(xué)教育提供支持
在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師和學(xué)生需要進(jìn)行畫圖、測量、計算、推理以及書寫公式等各種各樣的工作。根據(jù)規(guī)定的高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容來說，這些任務(wù)又可以細(xì)分為以下幾個方面:繪制平面或空間幾何圖形或構(gòu)造幾何關(guān)系；根據(jù)函數(shù)表達(dá)式或者方程繪制對應(yīng)的曲線；根據(jù)通項公式或遞推公式繪制數(shù)列的圖像；進(jìn)行動態(tài)的平移、旋轉(zhuǎn)、放縮等變換過程；測量和計算，包括對測量結(jié)果的各種運(yùn)算；基于平面幾何或空間幾何的推理與運(yùn)算；設(shè)計并開展隨機(jī)實驗，并記錄過程中的數(shù)據(jù);收集和處理數(shù)據(jù)，繪制統(tǒng)計表格和統(tǒng)計圖表；編寫程序并運(yùn)行程序，利用編程完成各種任務(wù)；控制點的運(yùn)動過程，對所要研究的對象進(jìn)行跟蹤。
數(shù)學(xué)實驗室的搭建應(yīng)該為這些工作提供的支持，使得這些基本的任務(wù)能夠輕松而簡單地實現(xiàn)。
2.4動態(tài)幾何軟件和圖形計算器是首要選擇
超級畫板是面向我國基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)科的智能知識平臺，是為我國數(shù)學(xué)教育量身定做的數(shù)學(xué)教育軟件，它能夠處理幾何、代數(shù)、三角、概率、統(tǒng)計、算法、積分等數(shù)學(xué)知識中的絕大多數(shù)模塊的內(nèi)容。
可以說，超級畫板是動態(tài)幾何軟件+計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)+隨機(jī)過程模擬平臺+程序編寫和運(yùn)行環(huán)境+動畫控制和演示平臺+計算機(jī)自動推理系統(tǒng)。
超級畫板基本能夠滿足高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的各種需求。而許多圖形計算器，也基本能夠?qū)崿F(xiàn)上述任務(wù)。但超級畫板和圖形計算器具有很大的互補(bǔ)性。例如,超級畫板的優(yōu)點是操作簡便,圖形清晰和美觀，易于觀察和展示;圖形計算器的優(yōu)點是方便攜帶,具有傳感功能可以采集外部數(shù)據(jù)。
對于中學(xué)階段的數(shù)學(xué)實驗室來說，裝備了動態(tài)幾何軟件超級畫板和圖形計算器之后，就能完成絕大多數(shù)類型的任務(wù)。
2.5傳統(tǒng)的工具和現(xiàn)代化的儀器設(shè)備也不可或缺
計算機(jī)、計算器和動態(tài)幾何軟件不僅讓抽象的數(shù)學(xué)變得直觀、形象，還能夠幫助學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)概念、認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)、掌握數(shù)學(xué)思想方法。顯然,如果學(xué)習(xí)者在現(xiàn)實生活中有機(jī)會參與操作、親身體驗這些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)方法，一定會拉近他們與數(shù)學(xué)之間的距離，一定會讓他們體會到數(shù)學(xué)的魅力和趣味，一定會幫助他們正確認(rèn)識數(shù)學(xué)與實際生產(chǎn)生活的密切關(guān)系。此外,傳統(tǒng)的教學(xué)工具和現(xiàn)代化的科技教育裝備也為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者提供了學(xué)習(xí)目標(biāo)實現(xiàn)的載體。
3組建數(shù)學(xué)探究實驗室主要設(shè)備
3.1 圖形計算器
1)代數(shù)功能。常見運(yùn)算，如數(shù)值求解，符號運(yùn)算，二進(jìn)制、十六進(jìn)制運(yùn)算，邏輯運(yùn)算，三角函數(shù)，雙曲函數(shù)，小公倍數(shù)，公約數(shù)，因式分解，多項式展開。
微積分運(yùn)算，如求導(dǎo)數(shù)、積分、極限、函數(shù)值、小值、切線、解微分方程、對隱函數(shù)求微分。矩陣運(yùn)算，包括特征值、特征量的計算、LU Decomposition、QR因數(shù)分解、包含符號元素的矩陣。
2)作圖功能。函數(shù)作圖、參數(shù)作圖、極坐標(biāo)作圖、數(shù)據(jù)統(tǒng)計作圖、圖形變換、圓錐曲線作圖、不等式作圖、函數(shù)值列表等。
3)幾何功能。創(chuàng)建和研究幾何形狀、模擬點在圖形上的運(yùn)動并研究其性質(zhì)、研究幾何的變換，有利于平面幾何的學(xué)習(xí)。可以實現(xiàn)函數(shù)作圖形式、參數(shù)方程作圖形式與數(shù)據(jù)統(tǒng)計作圖形式并存在同一個坐標(biāo)系下，有利于平面解析幾何的學(xué)習(xí)。
4)統(tǒng)計分析功能。對一元或二元變量進(jìn)行統(tǒng)計、對函數(shù)進(jìn)行回歸與擬合操作、進(jìn)行多種假設(shè)檢驗(T-test, Z-test, ANOVA等)、計算并繪制多種分布的圖形(散點圖、x-y線圖、直方圖、箱形圖、回歸線、正態(tài)概率圖、假設(shè)檢驗圖)、排列組合、隨機(jī)數(shù)、推論統(tǒng)計等。
5)金融計算功能，包括貨幣的時間價值(TVM)、不均勻現(xiàn)金流、分期付款、利率轉(zhuǎn)換等。6)編程功能，主要包括簡單易學(xué)的編程語言，用戶可根據(jù)自己的需求來編寫不同的應(yīng)用
程序。
3.2傳統(tǒng)教具與現(xiàn)代科教設(shè)備
1)傳統(tǒng)教學(xué)工具。主要包括三角尺、圓規(guī)、磁性白板、幾何體模型、圓錐曲線模型、凸凹多面體模型、平擺線形成模型、漸開線形成模型、簡明數(shù)學(xué)史掛圖、球面幾何教學(xué)掛圖、對稱與群教學(xué)掛圖。
2)現(xiàn)代科教設(shè)備。目前,符合數(shù)學(xué)現(xiàn)代教學(xué)的科教設(shè)備有很多，下面列出一些品目,并對它們的作用進(jìn)行說明。
★漢諾塔:有三根桿子A、B、C, B桿上有若干碟子，每次移動一塊碟子，小的只能疊在大的上面，要想把所有碟子從B桿上全部移到A桿上，求移動的方法。通過對漢諾問題的分析，從而學(xué)習(xí)和理解編程中遞歸算法的作用。
★正方形車輪:平時在水平路面上所見到的車輪為什么都是圓的?如果在水平路面上行駛的汽車的車輪不是圓的會有什么樣的后果？如果車輪是正方形的，那么應(yīng)該如何設(shè)計路面才能使車子平穩(wěn)地向前行駛?通過對正方形車輪問題的分析，幫助學(xué)生深刻理解滾動的本質(zhì)。
★哈密頓隨機(jī)實驗:當(dāng)一個小球經(jīng)過一個三岔路口，它有兩條路可以選擇，它會選擇哪條路?當(dāng)1 000、10 000個小球經(jīng)過這個三岔路口時，會有多少個小球選擇其中一條路，而又有多少個小球會選擇另外一條路繼續(xù)前行呢?
★輪子形成的擺線:先前滾動的車輪，經(jīng)過某個位置是壓到了香口膠，香口膠黏在了車輪上，而車輪繼續(xù)前行。那么車輪在繼續(xù)向前滾動的過程中，香口膠在空中經(jīng)過了一條什么形狀的路徑？直線？圓形？拋物線？橢圓？還是其他什么曲線？親自動手操作、觀察實驗一下吧。
★滾動圓得到的直線:一個物體在滾動過程中，其邊沿上一點所生成的曲線就叫做擺線。由于滾動物體的形狀和滾動路面的形狀不同，所得到的擺線也各不相同。這是一個直徑為大圓半徑的一半的小圓，在大圓內(nèi)的滾動過程，觀察一下得到的擺線是什么形狀的曲線?
★速降線：一般認(rèn)為，從一點運(yùn)動到另一點近的距離是直線，但在有些特殊的場合，這種概念卻值得仔細(xì)思考。如，當(dāng)你同時激發(fā)兩個質(zhì)量一樣的小球，分別沿著傾斜的直線軌和傾斜的擺線軌滾動而下的時候，你會看到那概念與實際情況出現(xiàn)了什么樣的不同。
★正弦曲線:演示周期函數(shù)一正弦函數(shù)的圖像形成的過程。
★莫比烏斯帶:平時我們手上所帶的手環(huán)或者手鐲有幾個面呢？通常情況下，它的外面磨損得很厲害了，里面還完整如新。顯然，它們都有兩個面。然而，你見過一個面的手環(huán)嗎?你摸摸這個帶子的發(fā)光二極管，發(fā)光的二極管會逐步亮起來，依次觸摸發(fā)光二極管一圈后，你會發(fā)現(xiàn)它竟然只有一個面!
★百發(fā)百中：或許你曾經(jīng)打過桌球，但是你有百發(fā)百中的經(jīng)歷嗎？在一個橢圓形的桌球面上，上面有兩個焦點，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，小球從-一個焦點彈出，經(jīng)反彈后必經(jīng)過另一焦點，從而實現(xiàn)百發(fā)百中的效果。
★雙曲狹縫:通常人們使用點、線、面描述我們生活的立體三維空間，借助數(shù)學(xué)的方法，人們還在創(chuàng)造著世界，雙曲狹縫就是通過數(shù)學(xué)的方法，證明了一根傾斜的直棍繞z軸旋轉(zhuǎn)時，其產(chǎn)生的單葉雙曲面被垂直于x、y的平面相切時產(chǎn)生的雙曲狹縫情形。
★雙曲造型:我們知道，點動成線、線動成面，直線的運(yùn)動能夠得到什么形狀的面?簡單的莫過于平面，然而一根運(yùn)動的直線，只要滿足以下條件:它繞一根與它是異面直線保持一定距離的直線軸轉(zhuǎn)動，它的運(yùn)動軌跡就是一個雙曲面。這種由一條直線連續(xù)運(yùn)動所生成的曲面線叫直紋面。
4數(shù)學(xué)探究實驗的組織與實施
裝備了數(shù)學(xué)實驗室，不等于能夠成功開展了數(shù)學(xué)實驗。哪些數(shù)學(xué)內(nèi)容和教學(xué)活動需要在數(shù)學(xué)實驗室開展，具體到每一個活動環(huán)節(jié)該如何開展，這些都是在建立數(shù)學(xué)實驗室之后亟待解決的問題。
與物理實驗和化學(xué)實驗所不同，數(shù)學(xué)實驗沒有嚴(yán)格規(guī)定的實驗步驟，對于同一個數(shù)學(xué)知識點，開展數(shù)學(xué)實驗的方式可能有幾種。而數(shù)學(xué)實驗的設(shè)計需要有豐富的教學(xué)經(jīng)驗，需要分析教材、分析學(xué)生，另外非常重要的是需要數(shù)學(xué)教師對技術(shù)有充分的認(rèn)識和深層的理解。然而，在短時間內(nèi)要求數(shù)學(xué)教師對技術(shù)熟悉程度達(dá)到爐火純青也是不現(xiàn)實的，這需要數(shù)學(xué)教師將大量的時間用在鉆研技術(shù)方面。我們堅持，數(shù)學(xué)實驗室的建立能夠在提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量的同時，也能減少數(shù)學(xué)教師的工作時間，從而減輕數(shù)學(xué)教師的勞動負(fù)擔(dān)?；谶@個目的，我們組織了一批教學(xué)經(jīng)驗豐富、教學(xué)成果突出，并長期致力于將開展技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)工作、具有很深造詣的數(shù)學(xué)特級教師、教師團(tuán)隊，研發(fā)了一-套《高中數(shù)學(xué)實驗》叢書。利用這套叢書,在數(shù)學(xué)教師的指導(dǎo)下，學(xué)生可以在實驗室的環(huán)境里開展以下幾個方面的學(xué)習(xí)活動。
4.1突破思維，釋惑解難
相對初中數(shù)學(xué)來說，高中階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容變得非常抽象、難懂，這是很多學(xué)生在進(jìn)入高中后的共同感受，因此，有些同學(xué)進(jìn)入高中階段后數(shù)學(xué)成績急劇下降。在這種情況下，同學(xué)們可以走進(jìn)數(shù)學(xué)實驗室。通過動手操作、觀察，讓抽象的數(shù)學(xué)概念在計算機(jī)或計算器的屏幕.上直觀、形象地展示出來，將難懂的問題變得容易理解了。同時，由于技術(shù)在展示動態(tài)圖形方面的優(yōu)勢，能夠讓復(fù)雜的問題變得簡單，讓枯燥的知識變得生動，從而幫助學(xué)生建立具體的、形象的認(rèn)識。，再進(jìn)一步通過形象思維上升到抽象思維。
4.2學(xué)以致用，科技創(chuàng)作
與傳統(tǒng)教學(xué)過程中需要整天面對的概念、定理、公式、例題和作業(yè)相比較來說，漂亮的圖形、生動的變換和動畫更能吸引學(xué)生的注意力,這些處在中學(xué)階段的學(xué)生正具有強(qiáng)烈的動手的欲望和創(chuàng)作能力,數(shù)學(xué)實驗室正是為學(xué)生提供了一個動手創(chuàng)作的活動空間。而與一般的游戲和手工所不同，在數(shù)學(xué)實驗室中,作的是數(shù)學(xué)圖形、用的是數(shù)學(xué)知識、玩的是數(shù)學(xué)問題、比的是數(shù)學(xué)水平、提高的是數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
在學(xué)生們嘗試著去完成一項工作的過程中，總會在不知不覺中運(yùn)用所學(xué)習(xí)過的知識，同樣也就在不知不覺中鞏固了之前學(xué)習(xí)過的內(nèi)容,加深了對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識，提高了對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。
4.3勇于攀登，開展研究
提出一個問題比解決一個問題更加困難，也更加可貴。中學(xué)生正是處在愛提問、愛質(zhì)疑的年齡。事實上，數(shù)學(xué)教科書上并不能將所有問題都解釋的非常清楚，也由于受到中學(xué)所學(xué)知識的限制，書上無法將一些問題解釋透徹。當(dāng)教師的解答也難以讓學(xué)生信服的時候，學(xué)生不妨到數(shù)學(xué)實驗室開展實驗、進(jìn)行研究，有了技術(shù)的幫助，讓圖形動起來，很多問題便迎刃而解了。
要解決這些問題也許還需要不少周折，也許有的甚至還沒有被完全解決。學(xué)生們?nèi)ゲ僮鳌⑷L試、去思考，未必都能一一解決，但他們收獲的是提出問題的能力、思考問題的角度、研究問題的方法，以及解決問題的勇氣。
4.4水到渠成，提高成績
現(xiàn)實問題無法回避，我們還處.在“應(yīng)試教育”的社會文化背景，這使得我們的學(xué)生個個都成為考試的機(jī)器，整日埋頭做題、歸納考題類型、總結(jié)解題方法，這樣的思維模式導(dǎo)致他們在面對一個考題時，總是先在大腦中搜索其類型，以及對應(yīng)的解題方法。若遇到的是一個以前不熟悉的類型的問題時，則無從下手。事實上，題海戰(zhàn)術(shù)只能讓他們重復(fù)性地、機(jī)械性地應(yīng)付考題。
如何將一個困難、復(fù)雜的問題講得深入淺出？如何讓學(xué)生覺得解決問題的方法淳樸自然?如何讓學(xué)生自然而然地找到解決問題的突破口?在數(shù)學(xué)實驗中，在技術(shù)的幫助下，利用動態(tài)的圖形和變化的數(shù)據(jù)，能讓數(shù)學(xué)問題的條件與結(jié)論的關(guān)系一覽無余地展示在學(xué)生面前，從而讓學(xué)生感到對問題的理解豁然開朗，解決問題的思路水到渠成。
